Chủ đề này có 8 trả lời

[lovemoon]

chứng minh rằng : $\frac{ma^{2}}{bc}+\frac{mb^{2}}{ca}+\frac{mc^{2}}{ab}\geq\frac{9}{4}$
ma,mb,mc là độ dài 3 đường trung tuyến

[banhgaongonngon]

chứng minh rằng : $\frac{ma^{2}}{bc}+\frac{mb^{2}}{ca}+\frac{mc^{2}}{ab}\geq\frac{9}{4}$
ma,mb,mc là độ dài 3 đường trung tuyến

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

$\sum \frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{bc}\geq 9$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 08-02-2013 - 16:14

[lovemoon]

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

$\sum \frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{bc}\geq 9$

t cũng làm ra đến đấy r nhưng ko bk bước tiếp theo

[ilovelife]

Đúng đúng, em cũng ra tương tự luôn, không biết giúp gì không:
$\sum \frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{bc}\ge (a+b+c)\sum \frac{a+b-c}{ab}$
Một bài gần giống http://diendantoanho...bab-geq-frac94/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 08-02-2013 - 16:56

[lovemoon]

Đúng đúng, em cũng ra tương tự luôn, không biết giúp gì không:
$\sum \frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{bc}\ge (a+b+c)\sum \frac{a+b-c}{ab}$
Một bài gần giống http://diendantoanho...bab-geq-frac94/

làm thế nào hả bạn?

[ilovelife]

làm thế nào hả bạn?

Tình hình là em chịu, bất đẳng thức em đã kém rồi, chưa nói đến bất đẳng thức hình học

[minhtuyb]

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

$\sum \frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{bc}\geq 9$

$$\Leftrightarrow \sum a(2b^2+2c^2-a^2)\ge 9abc\\ \Leftrightarrow 2\sum ab(a+b)-\sum a^3\ge 9abc\\ \Leftrightarrow 2[\sum ab(a+b)-6abc] -(\sum a^3-3abc)\ge 0\ \ (*)$$

Ta có các phân tích:
$$+)\sum ab(a+b)-6abc=2c(a-b)^2+(a+b)(a-c)(b-c)\\ +)\sum a^3-3abc=(a+b+c)(a-b)^2+(a+b+c)(a-c)(b-c)$$

Vậy:
$$(*)\Leftrightarrow (4c-a-b-c)(a-b)^2+(2a+2b-a-b-c)(a-c)(b-c)\ge 0\\ \Leftrightarrow (3c-a-b)(a-b)^2+(a+b-c)(a-c)(b-c)\ge 0$$

Đến đây giả sử $c=max \left\{a;b;c \right\}$ ta có ĐPCM. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c\ \square$
---
Ai có lời giải thuần hình học hay dùng BĐT cổ điển không nhỉ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 11-02-2013 - 11:42

[minhtuyb]

chứng minh rằng : $\frac{ma^{2}}{bc}+\frac{mb^{2}}{ca}+\frac{mc^{2}}{ab}\geq\frac{9}{4}$
ma,mb,mc là độ dài 3 đường trung tuyến

Được cao nhân chỉ giáo là bài này có thể áp dụng BĐT $Klamkin$, một phát ra luôn :
Với các số thực $x,y,z$ bất kì, $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác và $M$ là điểm bất kì trong mp thì:
$$(x+y+z)(xMA^2+yMB^2+zMC^2)\ge a^2yz+b^2zx+c^2xy$$
Chứng minh thì khai triển $(x\vec{MA}+y\vec{MB}+z\vec{MC})^2\ge 0$ là ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 18-02-2013 - 11:11

[barcavodich]

phá trâu ra thì làm tiếp ở đây nè http://diendantoanho...3-b3-c3geq9abc/