Ngày thứ nhất
Bài 1:Cho $p$ là số nguyên tố.Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $a$ mà $(a,n)=1$ ta đều có $n$ đồng tiền chưa biết khối lượng và cái cân hai đĩa.Ở mỗi thời điểm ta có thể chọn một số chẵn các đồng tiền và đặt mỗi đĩa một nửa số đồng tiền đã chọn,sau đó xem bên nào nặng hơn.Mục đích của ta là xem khối luợng của $n$ đồng tiền đó có bằng nhau tất cả hay không?Chứng minh rằng cần ít nhất $n-1$ lần cân thì mới đạt được mục đích trên.
Bài 3:Cho tam giác $ABC$ với $M$ là trung điểm của cạnh $BC$.Giả sử $AM$ cắt đường tròn nội tiếp của tam giác tại hai điểm $K,L$.Các đường thẳng song song với $BC$ đi qua $K,L$ cắt đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ tại điểm thứ hai $X,Y$ tương ứng.$AX,AY$ cắt $BC$ tại $P,Q$ tương ứng.Chứng minh rằng $BP=CQ$.
Ngày thứ hai
Bài 4:Cho $n$ là số nguyên dương.Chứng minh rằng với các số thực $x_1,x_2,...,x_n$ ta có $ABC$ với bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng bán kính đường tròn bàng tiếp đỉnh $A$.Giả sử đường tròn bàng tiếp đỉnh $A$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $M,N,L$.Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$ là trực tâm của tam giác $MNL$.
Bài 6:Cho $G$ là đồ thị có hướng đầy đủ,các cạnh của nó được tô bằng màu xanh hoặc đỏ.Chứng minh rằng có tồn tại một đỉnh của $G$,gọi là $v$ ,có tính chất:Với mỗi đỉnh $u$ khác nó có một đường đi đơn màu từ $v$ đến $u$.
Ngày thứ ba
Bài 7:Cho $n$ điểm trong mặt phẳng ,không có ba điểm nào thẳng hàng.Chúng ta gọi $k$ điểm trong chúng là tốt nếu chúng tạo thành một đa giác lồi,và không có điểm nào trong các điểm còn lại nằm trong đa giác đó.Với mỗi $k$ gọi $c_k$ là số các $k$ điểm tốt.Chứng minh rằng tổng $n$.
Bài 8:Cho $n$ là số nguyên dương.
a)Giải phương trình $m$ là số nguyên dương cho trước,tìm số nghiệm của phương trình $l,m$ là hai đường thẳng song song trong mặt phẳng.$P$ là điểm cố định nằm giữa chúng.$E,F$ là hai điểm chuyển động trên $l,m$ sao cho góc(có hướng) $P$ cũng nhìn $EF$ dưới một góc không đổi.
Ngày thứ tư
Bài 10:Cho $n$ là số nguyên dương.Tìm tất cả các số nguyên dương đôi một khác nhau $a_1,a_2,...,a_n$ sao cho chúng đôi một nguyên tố cùng nhau và $ABC$ với $AD,BE,CF$ là các đường cao.$P,Q,R$ là chân các đường vuông góc hạ từ $A,B,C$ xuống $EF,FD,DE$ tương ứng.Chứng minh rằng $2(PQ+QR+RP)\geq DE+EF+FD$.
Bài 12:Cho một đa giác đơn(đa giác có các cạnh không tự cắt,không cần thiết phải là đa giác lồi).Chứng minh rằng đa giác này có một đường kính nằm trong nó và hai cung sinh bởi đường kính này,mỗi cung chứa ít nhất một phần ba số đỉnh của đa giác.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 03-08-2009 - 11:19
