Tìm kiếm
Nam
Vòng 3 năm 2009 Ngày 2
Câu 1. Với mỗi $n$ lớn hơn hoặc bằng $2$ , xét ước chung lớn nhất của tất cả các cặp cặp có thể của hai số khác nhau từ $1$ đến $n$. Gọi $A(n), B(n)$ lần lượt là trung bình cộng và trung bình nhân của các ước số đó.
1) chứng minh rằng $A(n)< \ln n+1$ và tính $\lim A(n)$
2) Chứng minh rằng $B(n) < e^3$.
Câu 2. Chứng minh rằng với mọi dãy $a_1,a_2,...a_n$ ($n$ nguyên dương) ta luôn chọn được số tự nhiên $ k \le n$ sao cho $(a_1+a_2+...+a_k)-(a_{k+1}+...+a_n)| \le \max\{|a_1|,|a_2|...|a_n|\}$.
Câu 3. Hai đường tròn tâm $O$ và $O'$ tiếp xúc trong với nhau tại $A$ ($(O')$ nằm trong $(O)$). Giả sử dây cung $BC$ của đường tròn $(O)$ cắt $(O')$ tại $M,N$ sao cho $MB=MC$ và $N$ trên đoạn $MB$. $AN$ cắt $(O)$ lần hai tại $E$. trên cung $BEC$ ta lấy điểm $K$ sao cho $OK$ đi qua $M$. Dây $AK$ cắt $BC$ tại $F$. Chứng minh rằng bốn điểm $E,F,M,K$ nằm trên một đường tròn.
Câu 4. Giả sử ta có thể chọn được n số phân biệt từ tập {1,2,3...2n-1} sao cho các số được chọn không có hai số nào chia hết cho nhau. Chứng minh rằng không có số nào trong các số trên nhỏ hơn $2^k$, k là số xác định bởi điều kiện $3^k < 2n<3^{k+1}$
- tranquocluat_ht, rainbow99, Bui Ba Anh và 2 người khác yêu thích
!
