Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

[Archive] Cập nhật list Những bài toán trong tuần (301-400)


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-07-2015 - 17:52

Chào các bạn,

BQT lập topic này để cập nhật list Những bài toán trong tuần cho các bạn tiện theo dõi. Các bạn click trực tiếp vào $ \boxed{\text{Bài toán i}}, i \in \{1,..,n\}, n \in \mathbb{N}, n \geq 1 $ để trao đổi về bài toán.
Các bài toán có hoa hồng hi vọng   @};- là các bài toán đã đăng lâu mà chưa ai giải được, người giải được đầu tiên sẽ được nhiều điểm hơn bình thường. Các bài toán màu đỏ là các bài chưa được giải quyết trọn vẹn. Cảm ơn các bạn.

 

$\boxed{\text{Bài toán 301}}$

Cho $n\in \mathbb{N},n\ge 3,f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ sao cho với mọi $n-$ giác đều $A_1A_2...A_n$ ta luôn có

$$f(A_1)+f(A_2)+\cdots+f(A_n)=0$$

(nếu $A_i(x_i;y_i)$ thì ta kí hiệu $f(A_i):=f(x_i;y_i)$). Chứng minh $f\equiv 0$.

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 302}}$

Tìm ước chung lớn nhất của $$ a^2b+b^2c+c^2a, ab^2+bc^2+ca^2,  a+b+c$$ với $a,b,c \in \mathbb{Z},a,b,c>1$ và $a,b,c$ nguyên tố cùng nhau.

 

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $r$ là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện. Chứng minh rằng:
$$ r<\dfrac{AB.CD}{2AB+2CD}$$
 
Tìm số nguyên dương $n \ge 2011$ nhỏ nhất sao cho phương trình $$x^4+y^4+z^4+w^4-4xyzw=n$$ có nghiệm nguyên dương.
 
Tính tích phân

$$\int_{0}^{+\infty }\frac{x^{2}}{x^{4}-x^{2}+1}dx$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 306}}$

Cho số phức $ z $ thỏa mãn $ z + \dfrac{1}{z}=1 $

Hãy tính giá trị $ S=z+z^2+z^3+..................+z^n+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{z^3}+............+\dfrac{1}{z^n} $

 

$\boxed{\text{Bài toán 307}}$

Cho dãy số nguyên $a_{n}$ $n \in N$ thỏa mãn:
$$\left\{\begin{matrix}a_{o}=1 & \\ a_{n}=a_{n-1}+a_{[\frac{n}{3}]} & \end{matrix}\right.$$
Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p\leq 13$, tồn tại vô số số $k$ nguyên dương thỏa mãn $a_{k}$ chia hết cho $p$
 
Giải phương trình nghiệm nguyên $y^2=x^3-432$
 
Chứng minh rằng $\tan^2 \alpha, \tan^2 \left( \frac{\pi}{3}-\alpha\right), \tan^2 \left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)$ là nghiệm của phương trình sau:

$$x^3-\left(9\tan^2 3 \alpha+6\right)x^2+\left(6 \tan^2 3\alpha+9\right) x-\tan ^2 3 \alpha=0$$

 
Cho dãy số dương $\{u_n\},n\in \mathbb{N}$ thỏa mãn các điều kiện

1. $u_{n+1}\le u_n+u_n^2$.
2. Tồn tại hằng số $M>0$ sao cho $\sum\limits_{k=1}^n u_k\le M \forall n\in \mathbb{N}$.

Chứng minh rằng $\lim\limits_{n\to +\infty}n.u_n=0$

 

$\boxed{\text{Bài toán 310}}$

Cho các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$ . Chứng minh rằng

$$\sum \sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\geq ab+bc+ca+2$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 04-09-2015 - 11:09

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#2 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2926 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 06-09-2015 - 16:29

$\boxed{\text{Bài toán 311}}$

Cho $m, n$ là các số không âm. Gọi $a_{m, n}$ là hệ số của $x^n$ trong khai triển đa thức $(1 + x + x^2)^m$. Chứng minh với $k$ bất kì không âm, ta có:

$$0 \leq \sum\limits_{i=0}^{{\left[\dfrac{2k}{3}\right]}} a_{k - i, i} (-1)^i \leq 1$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 312}}$

Cho $\triangle ABC$ vuông đỉnh A. Biết đường cao AH, trung tuyến BM,  phân giác CD đồng quy tại O.

Chứng minh rằng: $\sin B = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 313}}$

Cho tứ diện đều ABCD, Tìm mặt phẳng $(P)$ sao cho hình chiếu vuông góc của tứ diện lên $(P)$ có diện tích nhỏ nhất.

 

$\boxed{\text{Bài toán 314}}$

Ta bắt đầu với một số nguyên dương nào đấy , số này được tác động bởi $2$ toán tử sau đây : Tách chữ số hàng đơn vị của nó rồi đem nhân chữ số này cho $4$, đem tích cộng với phần còn lại của số đã cho ( Ví dụ : $1997$ biến thành : $7*4+199=227$) . Thực hiện lặp đi lặp lại toán tử này . Chứng minh rằng nếu trong dãy các số thu được có chứa số $1001$ thì không có số nào trong các số của dãy là số nguyên tố .

 

$\boxed{\text{Bài toán 315}}$

Cho tam giác $ABC$ cố định và một điểm $M$ thay đổi trong không gian nhưng luôn không thuộc các đường thẳng $AB, BC, CA$ . Kí hiệu $x, y, z$ lần lượt là khoảng cách từ $M$ đến $AB, BC, CA$. Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn :
$$\dfrac{x}{1999y + 2000z} + \dfrac{y}{1999z + 2000x} + \dfrac{z}{1999x + 2000y} = \dfrac{1}{1333}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 316}}$

Tìm $m$ để phương trình

$\sqrt{x^{2}-9}= 2\left ( m-2 \right )x+6\left ( m-2 \right )$ có nghiệm $x\geq 3$

 

$\boxed{\text{Bài toán 317}}$

Cho dãy số$(u_n)$$,n \in \mathbb{N}$ được xác định như sau: $\left\{\begin{matrix}u_0=u_1=3 \\ u_2=9 \\ u_{n+3}=3u_{n+2}-u_n, \forall n \geq0 \end{matrix}\right.$

1.Chứng minh rằng có ba số thực  $a,b,c$ không đổi mà $a<b<c$ và $u_n = a^{n}+b^{n}+c^{n}$ với mọi số tự nhiên $n$.

2.Tìm số dư của phép chia $[c^{2011}]+[c^{2012}]$ cho 12.

 

$\boxed{\text{Bài toán 318}}$

Hãy tính $\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^{n}\ln \binom{n}{k}$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 319}}$

Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp $(O)$. Gọi $BC=a,AB=c,AC=b$. Từ 1 điểm N trên cung BC (N và A khác phía đối với BC) kẻ NK,NL,NM lần lượt vuông góc với BC,CA,AB. Gọi độ dài các đoạn NK,NL,NM lần lượt là $x,y,z$.Tính giá trị nhỏ nhất của tổng $S=\frac{a}{z}+\frac{b}{x}+\frac{c}{y}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 320}}$

Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 2007 để tạo thành 1 số tự nhiên . Ta thực hiện 1 thuật toán đơn giản như sau :

-Lấy chữ số đầu tiên nhân với 4 rồi cộng với chữ số tiếp theo cho đến hết ta đc 1 số mới
-Tiếp tục tác động lên số mới bước làm giống như trên cho đến khi ta đc kết quả là 1 số có 1 chữ số
Hãy tìm số có 1 chữ số đó.

 

$\boxed{\text{Bài toán 321}}$

Giả sử $\left | ax^2+bx+c \right |\geq \left | x^2-1 \right |$ với mọi số thực $x$ . Chứng minh rằng $$\left | b^2-4ac \right |\geq 4$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 321}}$

Cho hàm số xác định trên tập N* và thỏa mãn:

$f(n+1)=n(-1)^{n+1} -2f(n).$
$f(1)=f(2005).$

Tính tổng $$S= \sum\limits_{k=1}^{2006} f(k).$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 322}}$

Hãy tính $\sum\limits_{k = 0}^\infty  {\frac{{{2^k}}}{{\sum\limits_{i = 0}^k {{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^{k - i}}{{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^i}} }}} $.

 

$\boxed{\text{Bài toán 323}}$

Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=a^4+b^4+c^4+3(ab+bc+ca)$$


►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#3 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2926 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 01-12-2015 - 21:59

$\boxed{\text{Bài toán 324}}$

Cho $y = a_0x + a_1x^3 + a_2x^5 + ... + a_nx^{2n + 1} + ...$ Thỏa mãn $\left (1 - x^2 \right )y' - xy = 1, x \in \left (-1; 1 \right )$

Tìm các hệ số $a_0, a_1, a_2, ..., a_n$

 

$\boxed{\text{Bài toán 325}}$

Cho n là số nguyên dương lẻ,chứng minh rằng:

$$C^{2n}_{4n}\equiv 0 \pmod{8n+4}$$ 

 

$\boxed{\text{Bài toán 326}}$

Cho $(P): y=x^{2}$ ; $d$ là tuyếp tuyến của $(P)$ tại điểm có hoành độ $x=2$ .Gọi $(H)$ là hình giới hạn bởi $(P) ; d $; và trục $Ox$ .TÍnh thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi $(H)$ quay quanh $Ox$.

 
Cho $x,y>0$, chứng minh rằng:

$$\frac{1998^x}{2001^y}+\frac{2000^x}{1997^y}>1998^{x-y}+2000^{x-y}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 328}}$

Cho các số thực $x,y,z \ne 0$ và 2 tham số $m, n$ sao cho $$\left\{\begin{array}{1}\left (x^2+myz\right )\left (y^2+mzx\right )\left (z^2+mxy\right ) \ne 0 \\xy+yz+zx =0 \\(x+y+z)^3 =nxyz \end{array}\right.$$

Tính giá trị của :
$$P=\dfrac{yz}{x^2+myz}+\dfrac{zx}{y^2+mzx}+\dfrac{xy}{z^2+mxy}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 329}}$

Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
$$\left\{\begin{array}{1}x^2\sqrt{y+1}-2xy-2x=1 \\ x^3-3x-3xy=m+2\end{array}\right.$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 330}}$

Cho $a_1,a_2,. . .,a_n;x_1,x_2,. . .,x_n$ là các số thực dương thỏa mãn $\sum_{i=1}^n{x_i}=1$. Chứng minh rằng:
$$(n-1)^{n-1}\sum_{i=1}^n({x_i\prod_{j\ne i}{a_j}})\leq (\sum_{i=1}^n{(1-x_i)a_i})^{n-1}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 331}}$

Cho $a,b,c,d\in \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn:

$(a+bc)(b+ac)=5^d;a,b$ không chia hết cho 5.
Chứng minh $d$ chẵn.
 
Chỉ ra rằng nếu đơn đồ thị vô hướng có k thành phần liên thông với số đỉnh tương ứng là $n_1,...n_k$ thì số cạnh của $G$ không vượt quá $\sum\limits_{i=1}^kC_{n_i}^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 06-02-2016 - 11:36

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#4 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2926 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 19-01-2016 - 19:51

$\boxed{\text{Bài toán 333}}$ 

 Cho 1 tam giác đều được chia thành $n^2$ tam giác đều bằng nhau. Một trong số đó được đánh số bởi  1,2,3,…,m sao cho các tam giác với các số liên  tiếp phải có cạnh chung. Chứng minh rằng: $m\geq n^2-n+1$

 

$\boxed{\text{Bài toán 334}}$ 

Xét dãy $\{F_{n} \}_{n \ge 1}$ là dãy Fibonacci.Chứng minh đẳng thức Catalan:

$$F_{n}^2-F_{n+k}F_{n-k}=(-1)^{n-k}F_{k}^2(1 \le k \le n)$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 335}}$ 

Cho $P,Q,R$ là các đa thức phức thỏa mãn
$$P^a+Q^b=R^c$$
Với $a,b,c$ là các số tự nhiên.
Chứng minh rằng:$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} >1$

 

$\boxed{\text{Bài toán 336}}$ 

Cho tam giác $ABC$, các đường phân giác trong $BE,CI$. Chứng minh đẳng thức sau: 

$IE^2=\frac{bca^2}{(a+b)(a+c)}-2p(b-c)^2.\frac{abc}{(a+b)^2(a+c)^2}$
với $(p=\frac{\sum a}{2})$

 

 
Tìm tất cả các giá trị thực của $\alpha$ để cho $tan(\frac{5\pi }{12}+\alpha)$ là số hạng giửa của cấp số nhân gồm 3 số hạng: $tan\frac{5\pi }{12},tan(\frac{5\pi }{12}+\alpha),tan(\frac{5\pi }{12}-\alpha )$.
 
Gọi A là ma trận kề biểu diễn đồ thị G. Kí hiệu $a_{ij}^{(p)}$ là các phần tử của ma trận $A^p=A.A...A$ (p lần). Chứng minh rằng $a_{ij}^{(p)} \; (i,j=1,2,...,n)$ là số các đường đi khác nhau từ đỉnh $i$ đến $j$ độ dài $p$ qua $p-1$ đỉnh trung gian.
 
Cho $(O,R)$ và dây $AB=\sqrt{3}R$. Điểm $M$ di chuyển trên cung lớn $AB$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta AMB$. Đường tròn nội tiếp $\Delta AMB$ tiếp xúc với $MA$ và $MB$ lần lượt tại E và F. Chứng minh $EF$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi $M$ di chuyển trên cung lớn $AB$.
 

Cho $n \in \mathbb{N};n \ge 1$.Ký hiệu $\lim_{n \to +\infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n}=e$.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{2ne}<\frac{1}{e}-\left(1-\frac{1}{n} \right)^{n}<\frac{1}{ne}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 344}}$ 

Cho $F_1,F_2,\cdots $ là dãy xác định bởi $F_1=1;F_2=1;F_n=F_{n-1}+F_{n-2}; n\ge 3$. Chứng minh 
$$\sqrt{\frac{F_{n+3}}{F_n}}+\sqrt{\frac{F_n+F_{n+2}}{F_{n+1}}}>1+2\left(\sqrt{\frac{F_n}{F_{n+3}}}+\sqrt{\frac{F_{n+1}}{F_n+F_{n+2}}} \right )$$
 
Tìm tất cả cặp số nguyên dương (a;b) sao cho $ \dfrac{a^b+b}{ab^2+9}$ là một số nguyên
 
Trong phòng rạp có 100 chỗ ngồi và tất cả các vé đã được bán hết (mỗi vé được đánh số thứ tự tương ứng với số chỗ ngồi của phòng rạp).Tìm xác suất để không có khán giả nào ngồi đúng chỗ ghi tên vé của mình
 
$\boxed{\text{Bài toán 347}}$ 
Giả sử rằng $P(x)$ là một đa thức với hệ số thực,có tất cả các nghiệm đều là số ảo.Chứng minh rằng đa thức $P'(x)$ chỉ có một nghiệm thực

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#5 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2926 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 30-03-2016 - 10:21

$\boxed{\text{Bài toán 348}}$

Cho $\Delta ABC$ trên tia đối tia $AB, BC, CA$ lần lượt vẽ các đoạn thẳng $AD, BE, CF$ sao cho $AB + AD = BC + BE = CA + CF$ ( hay $BD = CE = AF$ ). Chứng minh rằng : Nếu $\Delta DEF$ đều thì $\Delta ABC$ đều.

 

$\boxed{\text{Bài toán 349}}$

Giả sử phương trình $ax^2+bx+c=0(a \neq 0)$ có 2 nghiệm phân biệt.Xét dãy $\{x_{n} \}:\left\{\begin{matrix} x_0=\alpha \\ x_{n}(ax_{n-1}+b)+c=0;\forall n \in \mathbb{N^*} \end{matrix}\right.$.Tính $\lim x_{n}$ theo $\alpha$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 350}}$

Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa:$$f(f(x)+x)+f(f(x)-x)=8x.$$

 

Các học sinh được phát bài kiểm tra , mỗi môn một bài, trong $n$ môn $(n\ge 3)$ môn học. Biết rằng với một môn học bất kì thì có đúng 3 học sinh đạt điểm tối ưu, còn với 2 môn tùy ý thì có 1 học sinh đạt điểm tối ưu cho mỗi môn trong cả 2 môn đó. Hãy xác định số $n$ bé nhất sao cho từ các điều kiện trên ta có thể suy ra rằng có đúng 1 học sinh đạt điểm tối ưu cho mỗi môn học trong $n$ môn đó.
 
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho:
$$F_{n}(a,b,c)= a^n(b-c)+b^n(c-a)+c^n(a-b) \vdots (a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)$$
 
Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương có :

$$\frac{1!2!+2!3!+...+n!(n+1)!}{n\sqrt[n]{(1!)^2.(2!)^2...(n!)^2}}\geq 2\sqrt[2n]{n!}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 354}}$

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ và ngoại tiếp đường tròn tâm $I$. $G$ là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh rằng $O, I, G$ thằng hàng. Tổng quát bài toán.

 

$\boxed{\text{Bài toán 355}}$

Giải phương trình: $$(\sqrt{7-x^2}-2)(x^2-1)+x^2+(x-1)^2=2$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 356}}$

Cho $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5>0$. Chứng minh rằng:
$\frac{a_1+\sqrt{a_1a_2}+\sqrt[3]{a_1a_2a_3}+\sqrt[4]{a_1a_2a_3a_4}+\sqrt[5]{a_1a_2a_3a_4a_5}}{5} \leq \sqrt[5]{a_1.\frac{a_1+a_2}{2}.\frac{a_1+a_2+a_3}{3}.\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4}.\frac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5}{5}}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 357}}$

Giải bất phương trình:

$$25x^{4}+5x^{2}+9x(x^{2}+1)\sqrt{9x^{2}-4}-2\geq 0$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 358}}$

Cho $m$ là số nguyên dương và $r$ là số thực ($r \geq 1$). Chứng minh:
$$\dfrac{1}{4rm} \left(\dfrac{(r + 1)^{r + 1}}{r^r}\right)^m < {(r + 1)m \choose m} < \left(\dfrac{(r + 1)^{r + 1}}{r^r}\right)^m$$
(với $z$ là số thực thì ${z \choose m}$ biểu thị $\dfrac{1}{m!}\prod_{k = 0}^{m - 1} (z - k)$.)


►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#6 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2926 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 12-06-2016 - 17:31

$\boxed{\text{Bài toán 359}}$

Cho đường tròn $(O)$.Hai đường tròn $(C1)$ và $(C2)$ tiếp xúc trong với $(O)$ lần lượt tại $A$ và $F$.Hai đường tròn này cắt nhau tại 2 điểm D và E phân biệt.Gọi K là hình chiếu của A lên DE.H là trung điểm của AK.M là trung điểm $DE$.Chứng minh góc $HMK$ bằng $\frac{1}{2}$ số đo cung nhỏ $AF$ của $(O)$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 359}}$

Một tứ giác lồi được chia bởi các đường chéo thành 4 tam giác. Chứng minh rằng: đường thẳng nối các trọng tâm của 2 tam giác đối nhau vuông góc với đường thẳng nối các trực tâm của 2 tam giác còn lại. 

 

$\boxed{\text{Bài toán 360}}$

Tìm tất cả các số thực $x$ sao cho : $\cos(\cos(\cos(\cos x))))=\sin(\sin(\sin(\sin x)))$

 

$\boxed{\text{Bài toán 361}}$

Cho $a_1;a_2;...;a_n$ là dãy các số nguyên không âm. Với $k=1,2,....,n$,đặt $ m_k =\max_{1\le l\le k}\frac{a_{k-l+1}+a_{k-l+2}+\cdots+a_k}{l}. $

Chứng minh rằng với mỗi $\alpha>0$,số giá trị của $k$ thỏa mãn $m_k>\alpha$ luôn bé hơn $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{\alpha}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 362}}$

Cho bảng $8\times 6$,các ô của bảng được tô bởi $n$ màu sao cho mỗi cặp 2 màu chỉ xuất hiện cùng nhau không quá một hàng. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $n$?

 

$\boxed{\text{Bài toán 363}}$

Tìm k để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

$$4^{-|x-k|}\log_{\sqrt{2}}(x^{2}-2x+3)+2^{-x^{2}+2x}\log_{\frac{1}{2}}(2|x-k|+2)=0$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 364}}$

Tính tổng
$$S = \sum\limits_{n = 1}^5 {\sum\limits_{k = n}^{n + 4} {\left( {k.C_{k - 1}^{n - 1} .C_{9 - k}^{5 - n} } \right)} }$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 365}}$

Cho $x$, $y$ là các số hữu tỉ thoả mãn đẳng thức $x^2+y^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2 = 2$. Chứng minh rằng $\sqrt{1+xy}$ là một số hữu tỉ.

 

$\boxed{\text{Bài toán 366}}$

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k$ ; ta có đẳng thức :

$$\frac{1}{\sin^{2} \frac{\pi}{4k+2}} + \frac{1}{\sin^{2} \frac{3\pi}{4k+2}} + \frac{1}{\sin^{2} \frac{5\pi}{4k+2}}+ \cdots+ \frac{1}{\sin^{2} \frac{(2k-1)\pi}{4k+2}} = 2k(k+1)$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 367}}$

Cho $p>2$ là 1 số nguyên tố. Chứng minh rằng phương trình:

$ax^2+by^2=pz+c$.

Có nghiệm $(x,y,z)\in N$, với $a,b,c\in N$ và không chia hết cho $p$.

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 368}}$

Tính: $$\lim_{n\to \infty}\left ( \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt[k]{k} \right )$$


►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#7 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2926 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 08-08-2016 - 19:24

$\boxed{\text{Bài toán 369}}$

Tính tổng sau:

$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{2^k-1-{n\choose k}}{k}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 370}}$

$A,B,C$ mỗi người lần lượt có 10, 30, 50 quả táo cùng loại. Họ mang ra chợ bán. Hãy nêu phương án để họ bán hết số táo đó với giá bán bằng nhau và cuối cùng thu về số tiền bằng nhau.

 

Ba người này không được bán táo cho nhau, không cho táo, không ăn táo.

 

Giải thích cho rõ: 

- Bán giá bằng nhau: Nếu trong một thời điểm nào đó, A bán táo với giá a đồng/ quả thì B và C cũng phải bán với giá a đồng/ quả.

 

$\boxed{\text{Bài toán 371}}$ 

Giả sử có $n$ điểm phân biệt trên mặt phẳng. Có vòng tròn với bán kính $r$ và tâm $O$ trên mặt phẳng. Ít nhất một trong các điểm nằm trong vòng tròn. Chúng ta làm các hướng dẫn sau đây. Tại mỗi bước chúng ta di chuyển $O$ đến trọng tâm của các điểm trong vòng tròn. Chứng minh rằng vị trí của $O$ là không đổi sau khi một số hữu hạn bước.

 

$\boxed{\text{Bài toán 372}}$ 

Cho $x_i\in (a,b)$, $p_i\in (0,1), \sum_{i=1}^{n}p_i=1$, $i=\overline{1,n}$, Chứng minh rằng: $$(\sum_{i=1}^{n}p_i.x_i^2)-(\sum_{i=1}^{n}p_i.x_i)^2\leq (\dfrac{b-a}{2})^2$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 373}}$

Cho tam giác $ABC$.Tâm ngoại tiếp $O$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $M,N,P$. Đường tròn bàng tiếp các góc $A,B,C$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $DEF$ và $J$ là giao điểm của $AI$ và $EF$.Đường thẳng $JM$ cắt $AH$ tại điểm $A'$. Xác định tương tự các điểm $B',C'$. Gọi $A", B",C"$ thứ tự là trung điểm các cạnh $NP,PM,MN$. Chứng minh rằng các đường thẳng qua $A",B",C"$ thứ tự song song với $A'D,B'E,C'F$ đồng quy tại một điểm nằm trên $OI$

 

$\boxed{\text{Bài toán 374}}$

Cho dãy ${a_n}$ không giảm trong $\left[ { - 1;1} \right]$. Chứng minh: \[\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\sqrt {1 - {a_i}{a_{i + 1}} \pm \sqrt {\left( {1 - a_i^2} \right)\left( {1 - a_{i + 1}^2} \right)} } < \frac{{\pi \sqrt 2 }}{2}} \]

 

$\boxed{\text{Bài toán 375}}$

Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Một đường thẳng thay đổi luôn đi qua $G$, cắt hai cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tam giác $AMN$

 

$\boxed{\text{Bài toán 376}}$

Tìm số nguyên dương $n$ bé nhất thỏa mãn tính chất sau không tồn tại bất cứ 1 cấp số cộng nào gồm 1999 số hạng mà cấp số cộng đó chưa đúng $n$ số nguyên.


►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#8 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2926 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 10-10-2016 - 21:59

$\boxed{\text{Bài toán 377}}$

Gỉa sử rằng trên mặt phẳng toạ độ cho đường cong là đồ thị của hàm số đa thức: $P(x)=x^{4}+px^{3}+qx^{2}+rx+s,P\in \mathbb{R}[x]$.

Một đường thẳng trên mặt phẳng ấy gọi là nằm ngang nếu nó song song với trục hoành và cắt đường cong tại 4 điểm A, B, C, D (tính từ trái sang phải).Ngoài ra nếu độ dài các đoạn thẳng AB, AC, AD có thể lấy làm độ dài các cạnh của một tam giác nào đó, thì đường thẳng như vậy còn được gọi là "đường tam giác". Chứng minh rằng chỉ có thể xảy ra trường hợp hoặc tất cả các đường thẳng nằm ngang là "đường tam giác", hoặc tất cả các đường thẳng ấy ko là "đường tam giác".

 

$\boxed{\text{Bài toán 378}}$

Cho tam giác $ABC$,$P$ là một điểm trong tam giác.Gọi $E,F$ là giao điểm  của $PB,PC$ với $AC,AB$.Đường thẳng $AP$ cắt $(ABC)$ tại $D$,gọi $L$ là giao điểm của $EF$ và $BC$.Chứng minh rằng khi $P$ thay đổi,$DL$ luôn đi qua một điểm cố định.

 

$\boxed{\text{Bài toán 379}}$

Cho các số nguyên dương a,b,c thoả mãn $a^{2}+ab+b^{2}$ là ước của $a^{3}+b^{3}$ và $a-b$ là số nguyên tố. Chứng minh: $a^{3}-b^{3}$ là luỹ thừa bậc bốn của 1 số nguyên.

 

$\boxed{\text{Bài toán 380}}$

Tìm tất cả các hàm $f$ xác định trên tập các số thực và nhận giá trị thỏa mãn $5$ điều kiện sau đây:

$(1) f(1)=1;$

$(2)f(-1)=-1;$

$(3)f(x)\leq f(0)$ với $0<x<1;$

$(4)f(x+y)\geq f(x)+f(y)$ với mọi $x,y$

$(5)f(x+y)\leq f(x)+f(y)+1$ với mọi $x,y$

 

$\boxed{\text{Bài toán 381}}$

 

Cho $n \in \mathbb{N^*}$.Chứng minh rằng:

$$n!<n^{n+\dfrac{1}{2}}.e^{1-n}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 382}}$

Một điểm được gọi là nguyên trên mặt phẳng tọa độ Oxy nếu cả hoành độ và tung độ nó đều là những số nguyên
Xét phát biểu : Một điểm nguyên $A$ được gọi là có thể nhìn thấy từ gốc tọa độ $O$ khi và chỉ khi trên đoạn $OA$ không chứa bất kì 1 điểm nguyên nào khác 
Chứng minh rằng . Với $n \in N^*$ thì ta có thể dựng được 1 hình vuông có kích thước $n*n$ sao cho các điểm nguyên trên biên và cả trong hình vuông đều không thể nào nhìn thấy từ gốc tọa độ $O$

 

$\boxed{\text{Bài toán 383}}$

 

Cho $k$ là số nguyên dương chẵn. $N$ là tích của $k$ số nguyên tố phân biệt $p_1,...,p_k$.  $a,b$ là hai số nguyên dương phân biệt sao cho $a \leq b \leq N$. Gọi $S_1$ và $S_2$ là hai tập thỏa mãn:$ S_1=\{d| $ $ d|N, a\leq d\leq b, d $ có số ước nguyên tố chẵn $\}$, $ S_2=\{d| $ $ d|N, a\leq d\leq b, d $ có số ước nguyên tố lẻ $\}$. Chứng minh rằng: $\left | S_1 \right |-\left | S_2 \right |\leq C_{k}^{\frac{k}{2}}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 384}}$

 

Xét dãy $P_{k}=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\dfrac{i^{k}}{i+1};k \in \mathbb{N^*}$.Chứng minh rằng:
$$P_{k}^2 \le P_{k+1}P_{k-1}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 385}}$

Cho dãy số thực vô hạn $ \{ a_n \}_{n \geq 1 }$ thỏa mãn :
Dãy số $ a_1 + 2a_2 ; a_2 + 2a_3 ; .....; a_n + 2a_{n+1} ;....$ là dãy hội tụ
Chứng minh rằng dãy $ \{ a_n \}_{n \geq 1 }$ cũng hội tụ


►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#9 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2926 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 25-11-2016 - 20:07

$\boxed{\text{Bài toán 386}}$

Gọi $S$ là một tập con bất kỳ chứa $k$ phần tử của tập $\{1,2,3,...,24\}.$ Tìm $k$ nhỏ nhất sao cho $S$ luôn chứa ít nhất 2 tập con sao cho mỗi tập con đó chứa 2 phần tử và tổng các phần tử của mỗi tập con bằng nhau.

 

$\boxed{\text{Bài toán 387}}$

Cho tam giác $ABC$ có $AB=c, BC=a, CA=b$. Điểm $D$ nằm ở miền trong tam giác thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1) $CD = d$

2) Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $D$ và vuông góc với $CD$. Gọi $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $\Delta$ thì $A', B, C$ thẳng hàng.

 

Hãy tính $DA+DB$ theo $a,b,c,d$

 

$\boxed{\text{Bài toán 388}}$

 

Cho $x,y,z \in \left(0,2\right]$ thỏa $x+y+z=3$. Chứng minh rằng :

 

$$\frac{x}{\sqrt{y}\left(2-x\right)}+\frac{y}{\sqrt{z}\left(2-y\right)}+\frac{z}{\sqrt{x}\left(2-z\right)} \leq \frac{x}{y\left(2-x\right)}+\frac{y}{z\left(2-y\right)}+\frac{z}{x\left(2-z\right)}$$

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 389}}$

 

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O. Một đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng AB, CD lần lượt tại N, M. (I) cắt (O) tại 2 điểm H và S. AC, BD cắt MN lần lượt tại Q, P. Chứng minh: P, Q, H, S cùng thuộc 1 đường tròn và đường tròn này tiếp xúc với AC và BD.

 

$\boxed{\text{Bài toán 390}}$

Cho dãy số $(a_n)$ thỏa $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k} = a \in \mathbb{R}} $. Chứng minh \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k}\cos \frac{{k\pi }}{n} = a} \]

 

$\boxed{\text{Bài toán 391}}$

Trong một hộp có 10 tấm thẻ được đánh số 0,1,2,..,9. Lấy ngẫu nhiên bốn thẻ và xếp cạnh nhau theo thứ tự từ trái sang phải. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để bốn thẻ xếp thành một số tự nhiên chẵn. 

$\boxed{\text{Bài toán 390}}$


►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh