$\boxed{\text{Bài toán 386}}$
Gọi $S$ là một tập con bất kỳ chứa $k$ phần tử của tập $\{1,2,3,...,24\}.$ Tìm $k$ nhỏ nhất sao cho $S$ luôn chứa ít nhất 2 tập con sao cho mỗi tập con đó chứa 2 phần tử và tổng các phần tử của mỗi tập con bằng nhau.
$\boxed{\text{Bài toán 387}}$
Cho tam giác $ABC$ có $AB=c, BC=a, CA=b$. Điểm $D$ nằm ở miền trong tam giác thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
1) $CD = d$
2) Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $D$ và vuông góc với $CD$. Gọi $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $\Delta$ thì $A', B, C$ thẳng hàng.
Hãy tính $DA+DB$ theo $a,b,c,d$
$\boxed{\text{Bài toán 388}}$
Tìm tất cả các hàm thỏa $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$
$$f\left( x+\cos \left( ny \right) \right)=f\left( x \right)+n\cos \left( f\left( y \right) \right)$$
Với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$
$\boxed{\text{Bài toán 389}}$
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O. Một đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng AB, CD lần lượt tại N, M. (I) cắt (O) tại 2 điểm H và S. AC, BD cắt MN lần lượt tại Q, P. Chứng minh: P, Q, H, S cùng thuộc 1 đường tròn và đường tròn này tiếp xúc với AC và BD.
$\boxed{\text{Bài toán 390}}$
Cho dãy số $(a_n)$ thỏa $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k} = a \in \mathbb{R}} $. Chứng minh \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k}\cos \frac{{k\pi }}{n} = a} \]
$\boxed{\text{Bài toán 391}}$
Trong một hộp có 10 tấm thẻ được đánh số 0,1,2,..,9. Lấy ngẫu nhiên bốn thẻ và xếp cạnh nhau theo thứ tự từ trái sang phải. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để bốn thẻ xếp thành một số tự nhiên chẵn.
$\boxed{\text{Bài toán 392}}$
Chứng minh PT sau có ít nhất một nghiệm:
$$ \sqrt{5+4\sqrt{9-2\sqrt{x}}}=2\sqrt{13}(13-x)$$
$\boxed{\text{Bài toán 393}}$
Một "bàn cờ" kích thước $1\times (m+n)$ ô. Có $n$ quân tốt đứng ở $n$ ô đầu tiên của bàn cờ. Cần phải tịnh tiến $n$ quân tốt đến $n$ ô cuối cùng (mỗi quân tiến $m$ bước). Mỗi bước đi chỉ được phép di chuyển 1 quân tốt bất kỳ tiến 1 ô về phía cuối bàn cờ nhưng không được "dẫm đạp" lên quân tốt khác. Gọi $S(n,m)$ là số cách di chuyển $n$ quân tốt tịnh tiến $m$ bước.
Chứng minh rằng: $$S(n,m)=\frac{1!2!...(n-1)!}{m!(m+1)!...(m+n-1)!}\times(mn)!$$
Ví dụ: $S(2,3)=\dfrac{1!}{3!4!}\times (2.3)!=5$
$\boxed{\text{Bài toán 394}}$
Cho $a,b >0$ thỏa mãn $a+b=2$ và $n \in \mathbb{N}$ Chứng minh:
$$(ab)^{\frac{n(n+1)}{2}}.(a^n+b^n)\le 2$$
$\boxed{\text{Bài toán 394}}$
-Lấy $Q[\sqrt{5}]$ là tập các số biểu diễn được dưới dạng: $x+y\sqrt{5}$ ( Với $x,y$ là các số hữu tỉ )
-Định 2 số $u,v\in Q[\sqrt{5}]$ sao cho: $u^4+v^4=2+\sqrt{5}$
$\boxed{\text{Bài toán 395}}$
Tìm tất cả các hàm thỏa $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$
$$f\left( x+\cos \left( ny \right) \right)=f\left( x \right)+n\cos \left( f\left( y \right) \right)$$
Với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$
$\boxed{\text{Bài toán 396}}$
Cho dãy Fibonaci $F_n$
đặt $P(x)=\left\{(m,n)|1 \leq m \leq n \leq x, (F_m,F_n)=1 \right \}$
Tính $\lim_{x \to \infty} \frac{P(x)}{x^2}$
$\boxed{\text{Bài toán 397}}$
Chứng minh dãy số sau đây có giới hạn và tìm giới hạn đó:
$\left\{ \begin{array}{l} u_0 = 2011 \\ u_n = \dfrac{1}{2}\left( {u_{n - 1} + \dfrac{{216}}{{u_{n - 1}^2 }}} \right),\forall n \ge 1 \\ \end{array} \right.$
$\boxed{\text{Bài toán 398}}$
Cho đường tròn bán kính $R= 1$. Trên tiếp tuyến tại một điểm $A$ của đường tròn, lấy điểm $T$ với $AT= 1$. Đường thẳng $d$ quay quanh $T$ cắt đường tròn tại $B$ và $C$. Xác định góc nhọn $\alpha$ giữa đương thẳng $d$ và tiếp tuyến $AT$ sao cho $\Delta ABC$ có diện tích lớn nhất.
$\boxed{\text{Bài toán 399}}$
Tìm số tự nhiên $n$ thỏa mãn:
$a^{n}(b-c)+b^{n}(c-a)+c^{n}(a-b)$ chia hết cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca$.
với $a,b,c$ là các số thực bất kì.
$\boxed{\text{Bài toán 400}}$
Cho một góc nhọn $xOy$ nhỏ hơn $45^{o}$ và một đường tròn $(I)$ thuộc miền trong của góc nhọn đó. Hãy dựng điểm $M$ trên tia $Oy$, điểm $N$ trên tia $Ox$ và các điểm $A$, $B$ thuộc $(I)$ sao cho tổng $AM+BN+MN$ nhỏ nhất